✖️ 數學 1：續因式分解（Factorization）
第 1：1.1 提取公因式（Common Factor）
📌 什麼是公因式？
多項式中每個項共同擁有的因數（可以是數、字母、或整體括號）。
解題三步：
- 看數字：找最大公因數（GCD）
- 看字母：取每項都有的字母，取最低次方
- 看括號：整體括號是因數時可以整個提出
題 1.1.1：分解 6x³y² - 9x²y + 3xy
①數字：6、9、3 的 GCD = 3
②字母：每項都有 xy，次方最低是 x¹y¹
③提取：3xy(2x²y - 3x + 1)
題 1.1.2：分解 5a(b+c) - 3(b+c)
①看括號：兩項都有 (b+c)
②提取：(b+c)(5a - 3)
⚠️ 常見錯誤：忘記檢查「提取後括號內每項是否還有公因式」。做完每題一定要驗證。
第 2：1.2 十字相乘法（Cross Method）
📌 二次三項式標準形
ax² + bx + c（a ≠ 0）
🔍 十字相乘原理
十字相乘法示意：左×右 = ac，交叉相加 = b
📌 套路總結（4 步）：
- 把 a 拆成兩數：a = p × q
- 把 c 拆成兩數：c = r × s
- 看「交叉相乘之和」是否等於 b：p×s + q×r = b？
- 寫答案：(px + r)(qx + s)
題 1.2.1：分解 x² + 5x + 6
①a=1, c=6, b=5
②找兩數和=5、積=6 → 2 和 3
③答案：(x + 2)(x + 3)
題 1.2.2：分解 2x² + 7x + 3
①a=2, c=3, b=7
②找兩數和=7、積=2×3=6 → 1 和 6
③分配：2×1 + 1×3 = 5（不對），改 2×3 + 1×1 = 7 ✓
④答案：(2x + 1)(x + 3)
題 1.2.3：分解 3x² - 10x + 8
①a=3, c=8, b=-10
②找兩數和=-10、積=3×8=24 → (-4) 和 (-6)
③分配：3×(-4) + 1×(-6) = -18；改 3×(-6) + 1×(-4) = -22，都不對
④換 (-2) 和 (-12)：3×(-2)+1×(-12)=-18；1×(-2)+3×(-12)=-38，不對
⑤換 (-4) 和 (-6) 重新分配：1×(-4)+3×(-6) = -22；再試
⑥實際：(3x - 4)(x - 2)，展開驗證：3x² - 6x - 4x + 8 = 3x² - 10x + 8 ✓
💡 十字相乘口訣：「兩數和為中間、兩數積為兩端乘積」
⚠️ 帶負號時的技巧：先把負號提出來，分解完再加回去。例如 -2x² + 7x - 3 = -(2x² - 7x + 3) = -(2x - 1)(x - 3)
第 3：1.3 完全平方（Perfect Square）
📐 兩個恆等式
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
🔍 識別特徵
看到三項式，首尾都是完全平方數，中間項是首尾兩項開方後乘以 2，就是完全平方！
題 1.3.1：分解 x² + 6x + 9
①x² = (x)²，9 = (3)²
②中間項 6x = 2 × x × 3 ✓
③符號為正 → (x + 3)²
題 1.3.2：分解 4x² - 12xy + 9y²
①4x² = (2x)²，9y² = (3y)²
②中間項 -12xy = -2 × 2x × 3y ✓
③符號為負 → (2x - 3y)²
💡 速記技巧：「首平方 + 末平方 + 中間 = 兩倍乘積」 → 一定是完全平方
第 4：1.4 平方差（Difference of Squares）
📐 公式
a² - b² = (a + b)(a - b)
🔍 識別特徵
看到兩項相減（沒有 + 號），且每項都是完全平方數，就是平方差。
題 1.4.1：分解 x² - 9
①x² = (x)²，9 = (3)²
②符號相減 → (x + 3)(x - 3)
題 1.4.2：分解 4x² - 25y²
①4x² = (2x)²，25y² = (5y)²
②答案：(2x + 5y)(2x - 5y)
題 1.4.3：分解 (x+1)² - 16
①(x+1)² = [(x+1)]²，16 = (4)²
②答案：(x+1+4)(x+1-4) = (x+5)(x-3)
⚠️ 注意：平方和（a² + b²）無法在實數範圍內分解！
第 5：1.5 配方法（Completing the Square）
📌 什麼時候用？
當其他方法都試過不行時，用配方法「強行構造」成完全平方。
🔍 套路
ax² + bx + c 配方步驟：
- 把 c 拆成「(b/2)² - (b/2)² + c」
- 前三項配方成完全平方
- 化簡剩餘項
- 用平方差公式分解
題 1.5.1：分解 x² + 4x + 1（DSE 真題常見！）
①係數 b=4，計算 (b/2)² = 4
②補上 4-4：x² + 4x + 4 - 4 + 1 = (x+2)² - 3
③用平方差：a² - b² 形式，這裡是 (x+2)² - (√3)²
④答案：(x + 2 + √3)(x + 2 - √3)
題 1.5.2：分解 2x² + 8x + 6
①先提公因式 2：2(x² + 4x + 3)
②x² + 4x + 3 = (x+1)(x+3)（用十字相乘）
③答案：2(x+1)(x+3)
📌 注意：配方法其實是「最後手段」，能十字相乘或完全平方時先用其他方法。
第 6：1.6 分組分解（Grouping）
📌 套路（5 步）
- 看項數：≥ 4 項才考慮分組
- 兩兩分組（第一+第二、第三+第四）
- 每組分別提取公因式
- 看兩組是否有共同括號
- 把共同括號提出，剩下括號相乘
題 1.6.1：分解 ax + ay + bx + by
①分組：(ax + ay) + (bx + by)
②各組提公因式：a(x+y) + b(x+y)
③共同括號 (x+y) 提出 → (a+b)(x+y)
題 1.6.2：分解 x² + 3x + xy + 3y
①分組：(x² + 3x) + (xy + 3y)
②提取：x(x+3) + y(x+3)
③共同 (x+3) → (x+3)(x+y)
題 1.6.3：分解 2x² + 3xy - 2y² - 5yz
①分組：(2x² - 2y²) + (3xy - 5yz)
②第一組提取 2：2(x+y)(x-y)
③第二組提取 y：y(3x - 5z)
④無共同括號，改分組：(2x² + 3xy) + (-2y² - 5yz)
⑤x(2x+3y) - y(2y+5z)... 還是不行
⑥換分組：(2x² - 5yz) + (3xy - 2y²) = z(2x²-5y)/... 也不對
⑦這種「多變量」題通常要分 (2x² + 3xy - 2y²) 當一組（用十字相乘），再處理 -5yz
⚠️ 重要：分組方法「不唯一」！嘗試不同分組方式，找能繼續分解的那種。
第 7：1.7 綜合應用題
📌 配對分解（Pairing）
題 1.7.1：分解 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24（綜合題王）
①配對：[(x+1)(x+4)] × [(x+2)(x+3)]
②展開：(x²+5x+4) × (x²+5x+6)
③設 y = x²+5x，原式 = (y+4)(y+6) - 24
④展開：y² + 10y + 24 - 24 = y² + 10y = y(y+10)
⑤代回：x(x+5)(x²+5x+10)
📌 添項拆項
題 1.7.2：分解 x⁴ + 4（經典！）
①配方：x⁴ + 4 = x⁴ + 4x² + 4 - 4x²
②= (x² + 2)² - (2x)²
③平方差：(x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2)
💡 綜合題套路：先觀察 → 配對/添項 → 用熟悉的公式（完全平方、平方差）
第 8：📌 總結：5 大判斷口訣
看到一個多項式，按以下順序判斷：
- 有公因式嗎？ → 提取公因式（永遠第一步）
- 三項式？ → 十字相乘（找兩數和=中間、積=ac）
- 中間項是首尾項開方後乘以 2？ → 完全平方
- 兩項相減，都是平方數？ → 平方差
- 4 項以上？ → 分組分解
- 都不行？ → 配方法（添項強行構造）
📊 7 大題型速查
| # | 題型 | 識別特徵 | 關鍵步驟 |
|---|
| 1 | 提取公因式 | 各項有共同部分 | 先找 GCD |
| 2 | 十字相乘 | ax² + bx + c 三項式 | 兩數和=中間、積=ac |
| 3 | 完全平方 | a² ± 2ab + b² | 看是否 ± 兩倍乘積 |
| 4 | 平方差 | a² - b² | (a+b)(a-b) |
| 5 | 配方法 | 其他方法不行 | 補 (b/2)² - (b/2)² |
| 6 | 分組分解 | 4 項以上 | 兩兩一組再提 |
| 7 | 綜合應用 | 混合多個方法 | 先觀察、試配對 |
📌 本章總結
看到一個多項式，按以下順序判斷：
- 有公因式嗎？ → 提取公因式（永遠第一步）
- 三項式？ → 十字相乘（找兩數和=中間、積=ac）
- 中間項是首尾項開方後乘以 2？ → 完全平方
- 兩項相減，都是平方數？ → 平方差
- 4 項以上？ → 分組分解
- 都不行？ → 配方法（添項強行構造）
📊 7 大題型速查
| # | 題型 | 識別特徵 | 關鍵步驟 |
|---|
| 1 | 提取公因式 | 各項有共同部分 | 先找 GCD |
| 2 | 十字相乘 | ax² + bx + c 三項式 | 兩數和=中間、積=ac |
| 3 | 完全平方 | a² ± 2ab + b² | 看是否 ± 兩倍乘積 |
| 4 | 平方差 | a² - b² | (a+b)(a-b) |
| 5 | 配方法 | 其他方法不行 | 補 (b/2)² - (b/2)² |
| 6 | 分組分解 | 4 項以上 | 兩兩一組再提 |
| 7 | 綜合應用 | 混合多個方法 | 先觀察、試配對 |
✏️ 即時練習
題 1：分解 12x²y - 8xy²
📌 點擊看答案
提取公因式 4xy
答案：4xy(3x - 2y)
題 2：分解 x² + 7x + 12
📌 點擊看答案
找兩數和=7、積=12 → 3 和 4
答案：(x + 3)(x + 4)
題 3：分解 x² - 8x + 16
📌 點擊看答案
x² = (x)²，16 = (4)²，2·x·4 = 8x
完全平方（符號為負）
答案：(x - 4)²
題 4：分解 9x² - 4y²
📌 點擊看答案
9x² = (3x)²，4y² = (2y)²
平方差
答案：(3x + 2y)(3x - 2y)
題 5：分解 2x² + 5x - 3
📌 點擊看答案
找兩數和=5、積=2×(-3)=-6 → (-1) 和 6
分配：2×6 + 1×(-1) = 11；改 2×(-1)+1×6=4；改 2×3+1×(-2)=4
實際正確分配：2×3 + 1×(-1) = 5
答案：(2x - 1)(x + 3)
題 6：分解 ax - 3bx + ay - 3by
📌 點擊看答案
分組：(ax - 3bx) + (ay - 3by)
提取：x(a-3b) + y(a-3b)
共同 (a-3b)
答案：(a - 3b)(x + y)
題 7：分解 x² + 6x + 5
📌 點擊看答案
找兩數和=6、積=5 → 1 和 5
答案：(x + 1)(x + 5)
題 8：分解 25x² - 1
📌 點擊看答案
25x² = (5x)²，1 = (1)²
平方差
答案：(5x + 1)(5x - 1)
題 9：分解 x² + 2x - 3
📌 點擊看答案
找兩數和=2、積=-3 → -1 和 3
答案：(x - 1)(x + 3)
題 10：分解 (x+y)² - (x-y)²
📌 點擊看答案
兩項都是完全平方且相減
平方差公式：a² - b² = (a+b)(a-b)
a = x+y, b = x-y
a+b = 2x，a-b = 2y
答案：(2x)(2y) = 4xy