📐 數學：十進制與二進制
Denary Numbers and Binary Numbers
一、什麼是進制？
進制是一種數數的方式，決定了每位數可以用哪些符號。
十進制（Denary）：每位數可用 0-9，滿 10 進位
二進制（Binary）：每位數只能用 0 和 1，滿 2 進位
💡 為什麼電腦用二進制？
電腦內部只有兩種狀態：通電（1）和不通電（0），所以電腦用二進制。
二、十進制 vs 二進制對照表
十進制 二進制 計算
─────────────────────────────────
0 0 0
1 1 1
2 10 1+1 (滿 2 進位)
3 11 10+1
4 100 11+1 (再滿 2 進位)
5 101 100+1
6 110 101+1
7 111 110+1
8 1000 111+1 (再滿 2 進位)
9 1001
10 1010
11 1011
12 1100
13 1101
14 1110
15 1111
三、十進制 → 二進制（除 2 取餘法）⭐必學
方法步驟
🎯 口訣：不斷除以 2，記錄每次的餘數，最後由下往上讀
📌 例題 1：把十進制 13 轉成二進制
步驟 1：不斷除以 2
13 ÷ 2 = 6 ... 餘 1
6 ÷ 2 = 3 ... 餘 0
3 ÷ 2 = 1 ... 餘 1
1 ÷ 2 = 0 ... 餘 1
步驟 2：由下往上讀餘數
由下往上：1 1 0 1
✅ 答案：13₁₀ = 1101₂
📌 例題 2：把十進制 25 轉成二進制
25 ÷ 2 = 12 ... 餘 1
12 ÷ 2 = 6 ... 餘 0
6 ÷ 2 = 3 ... 餘 0
3 ÷ 2 = 1 ... 餘 1
1 ÷ 2 = 0 ... 餘 1
由下往上：11001
✅ 答案：25₁₀ = 11001₂
四、二進制 → 十進制（按位展開法）⭐必學
方法步驟
🎯 口訣：每位數 × 對應的 2 的次方（從右邊開始：2⁰, 2¹, 2², ...），然後相加
📌 例題 3：把二進制 1101 轉成十進制
步驟 1：標記每位的位置（從右邊開始，0, 1, 2, 3...）
1 1 0 1
3 2 1 0 ← 位置指數
步驟 2：每位 × 2 的位置次方
1 × 2³ = 1 × 8 = 8
1 × 2² = 1 × 4 = 4
0 × 2¹ = 0 × 2 = 0
1 × 2⁰ = 1 × 1 = 1
步驟 3：全部相加
8 + 4 + 0 + 1 = 13
✅ 答案：1101₂ = 13₁₀
📌 例題 4：把二進制 10110 轉成十進制
1 × 2⁴ = 16
0 × 2³ = 0
1 × 2² = 4
1 × 2¹ = 2
0 × 2⁰ = 0
總和：16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22
✅ 答案：10110₂ = 22₁₀
五、速算技巧
2 的次方表（必背）
| 2 的次方 |
十進制值 |
| 2⁰ | 1 |
| 2¹ | 2 |
| 2² | 4 |
| 2³ | 8 |
| 2⁴ | 16 |
| 2⁵ | 32 |
| 2⁶ | 64 |
| 2⁷ | 128 |
六、進制標記
💡 為了區分不同進制，常用下標標記：
• 13₁₀ 表示十進制 13
• 1101₂ 表示二進制 1101
• 1A₁₆ 表示十六進制 1A
七、練習題
練習 1：把十進制 7 轉成二進制
💡 點擊看答案
111₂（7÷2=3...1, 3÷2=1...1, 1÷2=0...1, 由下往上：111）
練習 2：把十進制 20 轉成二進制
💡 點擊看答案
10100₂（20÷2=10...0, 10÷2=5...0, 5÷2=2...1, 2÷2=1...0, 1÷2=0...1, 由下往上：10100）
練習 3：把二進制 1010 轉成十進制
💡 點擊看答案
10（1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 0 = 10）
練習 4：把二進制 11111 轉成十進制
💡 點擊看答案
31（16+8+4+2+1 = 31）
練習 5：把十進制 100 轉成二進制
💡 點擊看答案
1100100₂（100÷2=50...0, 50÷2=25...0, 25÷2=12...1, 12÷2=6...0, 6÷2=3...0, 3÷2=1...1, 1÷2=0...1, 由下往上：1100100）
八、常見錯誤
| ❌ 錯誤 |
✅ 正確 |
| 餘數由上往下讀 |
餘數由下往上讀（最後的餘數是最左邊） |
| 忘記最後除到 0 為止 |
要一直除到商為 0 |
| 按位展開時位置數錯 |
從右邊開始數 0, 1, 2, 3... |
🎯 一句話總結
十→二：除2取餘，由下往上讀
二→十：按位展開，全部相加