📐 數學：一元一次不等式
Linear Inequalities in One Unknown
一、什麼是不等式？
不等式是用不等符號（<、>、≤、≥）表示兩式大小關係的式子。
不等符號：< （小於）、> （大於）、≤ （小於或等於）、≥ （大於或等於）
和方程很像，只是把 = 換成不等符號。
二、不等式 vs 方程
| 類型 |
例子 |
解的數量 |
| 方程 |
3x + 5 = 11 |
一個（x = 2） |
| 不等式 |
3x + 5 < 11 |
無限多個（x < 2 的所有 x） |
三、不等式的黃金規則 ⭐必背
🎯 加、減、乘、除正數：符號不變
🎯 乘、除負數：符號反轉！ ⚠️ 這是最常錯的地方
| 運算 |
符號變化 |
| 加 / 減 |
不變 |
| 乘 / 除正數 |
不變 |
| 乘 / 除負數 |
反轉 ⚠️ |
四、基礎例題
例題 1：不反轉符號（加、減）
📌 例題 1：解不等式 x + 3 < 8
步驟：兩邊同時減 3
x + 3 - 3 < 8 - 3
x < 5
✅ 答案：x < 5
例題 2：不反轉符號（除以正數）
📌 例題 2：解不等式 2x < 10
步驟：兩邊同時除以 2（正數，符號不變）
2x ÷ 2 < 10 ÷ 2
x < 5
✅ 答案：x < 5
例題 3：要反轉符號（除以負數）⚠️
📌 例題 3：解不等式 -2x > 6
步驟：兩邊同時除以 -2（負數，符號反轉！）
-2x ÷ (-2) < 6 ÷ (-2)
x < -3
⚠️ 注意：原本是 >，因為除以負數，變成 <
✅ 答案：x < -3
五、進階例題
例題 4：綜合運算
📌 例題 4：解不等式 3x + 2 < 11
步驟 1：兩邊同時減 2
3x < 9
步驟 2：兩邊同時除以 3（正數，符號不變）
x < 3
✅ 答案：x < 3
例題 5：含負數 x 的括號
📌 例題 5：解不等式 5 - 2x ≥ 3
步驟 1：兩邊同時減 5
-2x ≥ -2
步驟 2：兩邊同時除以 -2（負數，符號反轉！）
x ≤ 1
✅ 答案：x ≤ 1
例題 6：負數移項
📌 例題 6：解不等式 7 & - 2x ≥ 5x + 1
步驟 1：把 x 移到左邊
7 - 5x ≥ 1
-5x ≥ -6
步驟 2：兩邊同時除以 -5（負數，符號反轉！）
x ≤ 6/5
✅ 答案：x ≤ 6/5（即 x ≤ 1.2）
六、在數線上表示
不等式的解可以在數線（number line）上畫出來：
💡 畫法：
• < 或 >：用空心圓 ○
• ≤ 或 ≥：用實心圓 ●
• < ：向右畫箭頭 ←
• > ：向左畫箭頭 →
📌 數線表示 x ≥ -2
●━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━→
-2
在 -2 處畫實心圓 ●，向右畫箭頭（包含 -2）
七、練習題
練習 1：解不等式 x + 5 > 12
💡 點擊看答案
x > 7
練習 2：解不等式 4x < 20
💡 點擊看答案
x < 5（除以正數 4，符號不變）
練習 3：解不等式 -3x > 9
💡 點擊看答案
x < -3（除以負數 -3，符號反轉！）
練習 4：解不等式 2x + 3 < 13
💡 點擊看答案
x < 5（先減 3，再除以 2）
練習 5：解不等式 5 - x ≥ 7
💡 點擊看答案
x ≤ -2（先減 5 得 -x ≥ 2，再除以 -1 反轉得 x ≤ -2）
八、常見錯誤
| ❌ 錯誤 |
✅ 正確 |
原因 |
| -2x > 6 得 x > -3 |
x < -3 |
除以負數忘了反轉符號！ |
| 3x < -6 得 x > 2 |
x < -2 |
除以正數符號不變 |
| 移項忘了變號 |
移項要變號 |
和方程一樣 |
🎯 一句話總結
解不等式跟方程一樣
唯一差別：乘除負數要反轉符號