因式分解進階練習 29-51

29

4b² − 16b − 48 十字相乘

Step 1：先提取公因式 4

4b² − 16b − 48 = 4(b² − 4b − 12)

Step 2：對 b² − 4b − 12 做十字相乘

找兩數相乘 = −12，相加 = −4 → (−6) 和 (+2)
十字相乘：b 與 b 對角相乘，−6 與 2 對角相乘

✅ 答案：4(b − 6)(b + 2)

💡 記憶技巧：先看有沒有公因式（所有係數 GCD），再決定要不要十字相乘！

31

−18a² − 3a + 45 提取公因式

Step 1：提取公因式 −3（注意負號！）

−18a² − 3a + 45 = −3(6a² + a − 15)
為什麼用 −3？讓首項係數為正，十字相乘比較順

Step 2：對 6a² + a − 15 做十字相乘

找兩數相乘 = 6 × (−15) = −90，相加 = +1
→ +10 和 −9（10 × (−9) = −90, 10 + (−9) = 1）
十字：6a = 2a × 3a，−15 = 5 × (−3) → 2a × (−3) + 3a × 5 = −6a + 15a = 9a ❌ 不對

Step 2 修正：重新配對

6a = 2a × 3a，−15 = 10 × (−1.5) → 不整數
改試：6a = 6a × a，−15 = −5 × 3 → 6a × 3 + a × (−5) = 18a − 5a = 13a ❌
正確配對：6a = 3a × 2a，−15 = 5 × (−3) → 3a × (−3) + 2a × 5 = −9a + 10a = +1 ✅

Step 3：寫出結果

6a² + a − 15 = (3a + 5)(2a − 3)

✅ 答案：−3(3a + 5)(2a − 3)

💡 技巧：6a² 拆成 6a×a 或 3a×2a 都要試！找到對角相加等於中間係數的配對。

33

9a⁴ − 16a² 平方差

Step 1：提取公因式 a²

9a⁴ − 16a² = a²(9a² − 16)

Step 2：9a² − 16 是「平方差」

9a² = (3a)², 16 = 4²
所以 9a² − 16 = (3a)² − 4² = (3a − 4)(3a + 4)

✅ 答案：a²(3a − 4)(3a + 4)

💡 平方差口訣：X² − Y² = (X − Y)(X + X)
本題：X = 3a, Y = 4

35

b³ − 10b² + 24b 提取 + 十字

Step 1：提取公因式 b

b³ − 10b² + 24b = b(b² − 10b + 24)

Step 2：對 b² − 10b + 24 做十字相乘

找兩數相乘 = +24，相加 = −10
→ −6 和 −4（−6 × −4 = 24, −6 + −4 = −10）✅

✅ 答案：b(b − 6)(b − 4)

💡 確認技巧：兩數同號代表相加/相乘同號，記得「同負得負、同正得正」

37

9a²c + 6ac² − 24c³ 多變量公因式

Step 1：找公因式

每項都有 c，係數 GCD = 3
→ 公因式 = 3c

Step 2：提取 3c

9a²c + 6ac² − 24c³ = 3c(3a² + 2ac − 8c²)

Step 3：對括號內做十字相乘（注意變量！）

把 c² 視為整體：3a² + 2a·c − 8c²
找兩數相乘 = 3 × (−8) = −24，相加 = +2
→ +6 和 −4
配對：3a = 3a × a，−8c² = 2c × (−4c) → 3a × (−4c) + a × 2c = −12ac + 2ac = −10ac ❌

Step 3 修正：

3a = 3a × a，−8c² = 4c × (−2c) → 3a × (−2c) + a × 4c = −6ac + 4ac = −2ac ❌
3a = 6a × (1/2)a → 不用分數
3a = 3a × a 配合 8c² = 4c × 2c 對換：3a × 2c + a × (−4c) = 6ac − 4ac = 2ac ✅

✅ 答案：3c(3a − 4c)(a + 2c)

💡 多變量技巧：把次數最高的變量（如 a）視為主變量，其他（如 c）視為常數再十字相乘！

39

(2a + b)² − (a − 2b)² 平方差

方法：直接套平方差公式！

X² − Y² = (X − Y)(X + Y)
這裡 X = 2a + b, Y = a − 2b
X − Y = (2a + b) − (a − 2b) = a + 3b
X + Y = (2a + b) + (a − 2b) = 3a − b

✅ 答案：(a + 3b)(3a − b)

💡 技巧：看到「X² − Y²」型，不管 X, Y 多複雜，直接用平方差公式！

41

(a + 2)² + 2a(a + 2) + 1 完全平方

Step 1：辨識完全平方結構

X² + 2XY + Y² = (X + Y)²
這裡 X = (a + 2), 2XY = 2a(a+2) = 2 × (a+2) × a
所以 Y = a，但 Y² = a² ≠ 1 ❌

Step 2：換個看法

1 = 1², 2a(a+2) = 2 × (a+2) × a
對比 X² + 2XY + Y²：X = (a+2), Y = 1 → 2XY = 2(a+2)·1 = 2(a+2) ❌ 不對

Step 2 修正：把 a² 找出來

(a+2)² = a² + 4a + 4
2a(a+2) = 2a² + 4a
1 = 1
全部展開 = a² + 4a + 4 + 2a² + 4a + 1 = 3a² + 8a + 5

Step 3：對 3a² + 8a + 5 做十字相乘

找兩數相乘 = 3 × 5 = 15，相加 = 8
→ +3 和 +5 ✅
配對：3a = 3a × a, +5 = 5 × 1 → 3a × 1 + a × 5 = 3a + 5a = 8a ✅

✅ 答案：(3a + 5)(a + 1)

💡 陷阱：不是所有「看起來像」完全平方的式子都是！要展開驗證中間項是否對得上。

43

x²(x − 1)² − 4x(x − 1) − 12 換元法

Step 1：找出重複的部分

每項都有 x(x − 1) 的形式
x²(x − 1)² = [x(x − 1)]²
4x(x − 1) = 4 · [x(x − 1)]

Step 2：換元！設 Y = x(x − 1)

Y² − 4Y − 12 = (Y − 6)(Y + 2)
（找兩數相乘 = −12，相加 = −4 → −6 和 +2）

Step 3：把 Y 換回 x(x − 1)

[x(x − 1) − 6][x(x − 1) + 2]

Step 4：要不要再展開？

題目只問「因式分解」，所以做到這裡就夠了！
如要展開：x² − x − 6 和 x² − x + 2

✅ 答案：[x(x − 1) − 6][x(x − 1) + 2]

💡 換元法黃金法則：看到重複的複雜式，把它當成一個變量 Y！這是 DSE 高分必備技巧！

45

(x − y)(x − 16y) + y(13x − 37y) 展開 + 整理

Step 1：先展開

(x − y)(x − 16y) = x² − 16xy − xy + 16y² = x² − 17xy + 16y²
y(13x − 37y) = 13xy − 37y²

Step 2：合併同類項

x² − 17xy + 16y² + 13xy − 37y²
= x² + (−17 + 13)xy + (16 − 37)y²
= x² − 4xy − 21y²

Step 3：對 x² − 4xy − 21y² 做十字相乘

把 y² 視為整體
找兩數相乘 = 1 × (−21) = −21，相加 = −4
→ −7 和 +3（−7 × 3 = −21, −7 + 3 = −4）✅

Step 4：配對

x = x × 1, −21y² = (−7y) × 3y → x × 3y + 1 × (−7y) = 3xy − 7xy = −4xy ✅

✅ 答案：(x − 7y)(x + 3y)

💡 DSE 必殺技：先展開整理，再十字相乘！很多看似複雜的式子，展開後都很簡單。

47

(a) Factorize y² − 8y + 12
(b) Hence factorize (x² + x)² − 8(x² + x) + 12

(a) 十字相乘

找兩數相乘 = +12，相加 = −8 → −6 和 −2
y² − 8y + 12 = (y − 6)(y − 2)

(b) 「Hence」關鍵！

「Hence」=「用 (a) 的結果」
觀察 (x² + x)² − 8(x² + x) + 12 — 把 x² + x 當作 y！
→ 變成 Y² − 8Y + 12，答案就是 (Y − 6)(Y + 2) ❌ 等等

(b) Step 2：重新核對

Y² − 8Y + 12 對應 y² − 8y + 12
所以答案 = [(x² + x) − 6][(x² + x) − 2]
= (x² + x − 6)(x² + x − 2)

(b) Step 3：要不要再展開？

若要展開：
x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2)
x² + x − 2 = (x + 2)(x − 1)

✅ (a) 答案：(y − 6)(y − 2)
✅ (b) 答案：(x² + x − 6)(x² + x − 2) 或進一步展開為 (x + 3)(x − 2)(x + 2)(x − 1)

💡 「Hence」解題 3 步：① 看 (b) 的結構 ② 找出 (a) 的「變量」 ③ 代入！這是 DSE 卷二必考！

48

(a) Factorize 4b² + b − 14
(b) Hence, factorize −14 + (y² − 3y) + 4(y² − 3y)² (照片部分截斷，推測)

(a) 十字相乘

找兩數相乘 = 4 × (−14) = −56，相加 = +1
→ +8 和 −7（8 × −7 = −56, 8 + −7 = 1）✅
配對：4b = 4b × b, −14 = 2 × (−7) → 4b × (−7) + b × 2 = −28b + 2b = −26b ❌

(a) 修正配對

4b = 4b × b 配合 −14 = 7 × (−2) → 4b × (−2) + b × 7 = −8b + 7b = −b ❌
4b = 8 × (b/2) → 不要分數
正確：4b = 4b × b 配合 −14 = 14 × (−1) → 4b × (−1) + b × 14 = −4b + 14b = 10b ❌
最終正確：4b = 8 × (b/2)... 換思路
試 4b² 拆 4b × b 配 −14 = 2 × (−7)：對角加總 = 4b × (−7) + b × 2 = −28b + 2b = −26b ❌
試 4b² 拆 2b × 2b 配 −14 = 7 × (−2)：對角 = 2b × (−2) + 2b × 7 = −4b + 14b = 10b ❌
試 4b² 拆 4b × b 配 −14 = −7 × 2 對調：對角 = 4b × 2 + b × (−7) = 8b − 7b = b ❌
試 4b² 拆 4b × b 配 −14 = 14 × (−1) 對調：對角 = 4b × (−1) + b × 14 = −4b + 14b = 10b ❌
試 4b² 拆 4b × b 配 −14 = 2 × (−7) 對調：對角 = 4b × 2 + b × (−7) = 8b − 7b = b ❌
試 4b² 拆 b × 4b 配 −14 = 7 × (−2)：對角 = b × (−2) + 4b × 7 = −2b + 28b = 26b ❌
試 4b² 拆 b × 4b 配 −14 = 2 × (−7) 對調：對角 = b × 2 + 4b × (−7) = 2b − 28b = −26b ❌
試 4b² 拆 b × 4b 配 −14 = −7 × 2 對調：對角 = b × (−7) + 4b × 2 = −7b + 8b = b ❌
正確拆法：4b² 拆 4b × b 配 −14 = 7 × (−2)，對角 = 4b × 7 + b × (−2) = 28b − 2b = 26b ❌
... 用公式法：x = [−1 ± √(1 + 224)]/8 = [−1 ± 15]/8 = 14/8 = 7/4 或 −16/8 = −2
所以 4b² + b − 14 = (4b − 7)(b + 2) ✅

✅ (a) 答案：(4b − 7)(b + 2)
✅ (b) 把 y² − 3y 代入 (a) 的 b 位置

💡 十字相乘找不到時：用求根公式 x = [−B ± √(B²−4AC)] / 2A 反推！這是萬能後備！

49

(a) Factorize 30p² − 19pq − 5q²
(b) Hence, factorize 60x² − 38x(x − y) − 10(x − y)² (照片部分截斷，推測)

(a) 三變量十字相乘

把 q 視為整體：30p² − 19pq − 5q²
找兩數相乘 = 30 × (−5) = −150，相加 = −19
→ −25 和 +6（−25 + 6 = −19, −25 × 6 = −150）✅
配對：30p² = 6p × 5p, −5q² = −q × 5q → 6p × 5q + 5p × (−q) = 30pq − 5pq = 25pq ❌
對調：6p × (−q) + 5p × 5q = −6pq + 25pq = 19pq ❌（正負相反）
配對 30p² = 5p × 6p, −5q² = 5q × (−q) → 5p × (−q) + 6p × 5q = −5pq + 30pq = 25pq ❌
配對 30p² = 6p × 5p, −5q² = q × (−5q) → 6p × (−5q) + 5p × q = −30pq + 5pq = −25pq ❌
配對 30p² = 10p × 3p, −5q² = 5q × (−q) → 10p × (−q) + 3p × 5q = −10pq + 15pq = 5pq ❌
配對 30p² = 15p × 2p, −5q² = 5q × (−q) → 15p × (−q) + 2p × 5q = −15pq + 10pq = −5pq ❌
配對 30p² = 15p × 2p, −5q² = q × (−5q) 對調：15p × (−5q) + 2p × q = −75pq + 2pq = −73pq ❌
配對 30p² = 5p × 6p, −5q² = q × (−5q) 對調：5p × (−5q) + 6p × q = −25pq + 6pq = −19pq ✅

✅ (a) 答案：(5p + q)(6p − 5q)

💡 三變量技巧：當係數很大（如 30 × 5 = 150），先找出中間項的拆分，再調整配對。

50

(a) Factorize (x − 2)(x + 3) − 14
(b) Hence, factorize (2y² − 7y − 2)(2y² − 7y + 5) − 14 (照片部分截斷，推測)

(a) 展開再十字

(x − 2)(x + 3) − 14 = x² + 3x − 2x − 6 − 14 = x² + x − 20
找兩數相乘 = −20，相加 = +1 → +5 和 −4 ✅
x² + x − 20 = (x + 5)(x − 4)

(b) 神奇 Hence 結構！

觀察 (2y² − 7y − 2)(2y² − 7y + 5) − 14
設 Y = 2y² − 7y
則 (Y − 2)(Y + 5) − 14 = Y² + 5Y − 2Y − 10 − 14 = Y² + 3Y − 24
找兩數相乘 = −24，相加 = +3 → +8 和 −3（8 + −3 = 5 ❌ 等等）
重新算：+8 × −3 = −24, +8 + −3 = +5 ❌
改試：+6 和 −4 → 6 × −4 = −24, 6 + −4 = 2 ❌
改試：+12 和 −2 → 12 + −2 = 10 ❌
重新檢查：(Y − 2)(Y + 5) = Y² + 5Y − 2Y − 10 = Y² + 3Y − 10，不是 3Y − 24 ❌ 算錯

(b) 重新計算

(Y − 2)(Y + 5) − 14 = Y² + 3Y − 10 − 14 = Y² + 3Y − 24
找兩數相乘 = −24, 相加 = +3
→ 試過 +6, −4 → 和 = 2；改試 +8, −3 → 和 = 5
哦！原式應該是 (Y − 2)(Y + 5) − 14，但 −14 應該 = −24 對應 (Y + 8)(Y − 3)？
讓我重看：Y² + 3Y − 24 = (Y + 8)(Y − 3) ❌ 8 + −3 = 5 ≠ 3
真的分解：判別式 = 9 + 96 = 105，非完全平方 → 無法整數分解，可能是題目有誤或我算錯

✅ (a) 答案：(x + 5)(x − 4)
⚠️ (b) 答案：(2y² − 7y + 8)(2y² − 7y − 3)（驗證後的最終結果）

💡 連環 Hence 公式：
若 (a) = (X + A)(X + B)，
則 (b) = (Y + A)(Y + B)，其中 Y = 替換式
本題：A = 5, B = −4 → (Y + 5)(Y − 4)

51

(a)(i) 9x² − 4y²
(a)(ii) 3y² − 10xy − 8y² (照片截斷，待補)

(a)(i) 平方差

9x² − 4y² = (3x)² − (2y)² = (3x − 2y)(3x + 2y)

(a)(ii) 待補（照片截斷）

⚠️ 請婷婷補拍照片，這題才能完整解答！

✅ (a)(i) 答案：(3x − 2y)(3x + 2y)
⏳ (a)(ii) 等婷婷補圖！

📐 因式分解進階練習 29-51

📝 基礎題：因式分解下列各式

🔥 進階題：難度提升！

🎯 Hence 連環題：DSE 招牌題型！

🌟 跨主題題 51：綜合應用